Квадратичная форма - функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.
Квадратичная форма называется канонической, если все , т.е.
Рассмотрим некоторые методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Метод Лагранжа заключается в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов.
Ортогональное преобразование пространства:
, где - собственные значения матрицы А.
Кривые второго порядка
Уравнение второй степени относительно двух переменных при разных значениях постоянных коэффициентов А, В и С описывает четыре вида линий на плоскости: окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Это уравнением называется общим уравнением кривых 2-го порядка.
Каноническое уравнение окружности имеет вид: , где: - координаты центра окружности; R - радиус окружности.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид: , где: a, b - полуоси эллипса вдоль оси Ox и Oy соответственно.
Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси Ox, имеет вид: . Уравнение вида описывает параболу, симметричную относительно оси Oy.
Каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, имеет вид: , где: a - вещественная полуось гиперболы и представляет собой расстояниее от начала координат до вершины гиперболы, b - мнимая полуось.
Здесь можно найти примеры решения некоторых задач:
Квадратичные формы
Квадратичная форма - функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.Рассмотрим некоторые методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Кривые второго порядка
Уравнение второй степени относительно двух переменных
Каноническое уравнение окружности имеет вид:
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси Ox, имеет вид:
Каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, имеет вид:
Здесь можно найти примеры решения некоторых задач:
Используемый источник:
Учебное пособие под ред. В. И. Ермакова "Сборник задач по высшей математике для экономистов"
Полезные ресурсы:
Сайт, посвящённый математике http://www.mathmath.ru/node82-1.php
Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями http://www.pm298.ru/kvform.php
Единая Образовательно-Научная Информационная Среда для индивидуальных и коллективных пользователей http://www.academiaxxi.ru/Collections/La_Ag/Electr_book/La/12/03/t.htm
Решение высшей математики онлайн http://mathserfer.com/theory/pyartli1/node26.html
Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями http://www.pm298.ru/reshenie/giperb.php